Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

MAT. 514

Prof. Ing. Freddy de Js. Mejia G.

DEFINICION

En el lenguaje de las matemáticas al cambio se le llama variable, al grado de este cambio de una variable respecto a otra se le llama derivada, pues, la ecuación que expresa la relación entre la variable y su derivada se le llama Ecuación Diferencial. En un lenguaje más simple es una Ecuación que contiene Derivada

X2 + 5x + 4 = 0 es una ecuación ordinaria donde la incógnita es x
y’’ + y’ + 4 = 0 es una Ecuación Diferencia porque contiene la derivadas y’’, y’ donde mi ingénita es y’’ ( dy/dx ) .

CLASIFICACION
Según el Tipo: Una Ec. Dif. Que contiene solo diferencial ordinaria de una o mas variables se le llama Ec. Dif. Ordinaria. Si la Ec. Dif. Contiene derivadas parciales de una o mas variables se le llama Ec. Dif. Entre Derivadas Parciales

Según el Orden: Como una Ec. Dif. Contiene términos de ecuaciones ordinarias y términos con derivadas, como la ecuacio0nes ordinaria se clasifican según su grado y las derivadas según su orden la Ec. Dif. hay que clasificarlas según su Orden y su Grado.

Orden : Es el orden de su derivada de mayor orden
Grado . Es el grado de su derivada de mayor Orden, ósea, el exponente de la derivada mayor .

3x dy/dx +2x = 0 , Orden 1 Grado 1
3x d2y/dx2 + 2x = 0 , Orden 2 Grado 1
3x ( d2y/dx2 )2 = 0 , Orden 2 Grado 2
3x ( dy/dx ) 2 = 0, Orden 1 Grado 2

.Según su Linealidad. Se dice que una Ec. Dif. Es Lineal cuando es una función lineal de y. Esta Ec. Dif. Tienen dos propiedades características

1-La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado.
2-Cada Coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.


Problemas Propuestos. Pag. No. 5 E-15 F. Ayres







SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

La solución de una ecuación direfencial es otra ecuación libre de derivadas que convierte esta en una Identidad .
Una solución donde la variable dependiente se exprese en términos de la variable independiente se le llama Solución Explicita ( y = e2x ). Una solución explicita que sea idéntica a cero en un intervalo I se le llama Trivial.



COMPROBACION DE SOLUCIONES
Cuando se resuelve una Ec. Dif. al igual que otras ecuaciones debemos comprobar la veracidad de la solución encontrada .

Ejemplo: Si tenemos la Ec. Dif. xy’ – 2y = 0 y se encontró la solución y = x2 para comprobar si la solución es correcta.

Ec. Dif Solución
1) xy’ – 2y = 0 2) y = x2

a) Derivando (2) y’ = 2x

b) Sustituyendo y’ , y en (1) por su igual

x ( 2x) – 2( x2) = 0 ., 2x2 = 2x2 como ambos términos son iguales la (2) es solución de la (1)


Comprobar la solución de cada Ec. Dif.

1 ) xy’ + y = y2 y = 2 / x+2

2 ) x + yy’ = 0 y = ( 16-x2 ) 1/2

Pag. 27 , E-2 Morris
Pag. 11 , E-13 ….. F. Ayres











ECUACION PRIMITIVA

La primitiva es la ecuación diferencia que es satisfecha por una ecuación ordinaria dada. Es calcular la ecuación diferencial teniendo su solución , si una ecuación diferencial tiene solución estas pueden ser infinitas. Una ecuación que contenga una constante arbitraria es una solución de una ecuación diferencial de primer orden y es de segundo orden si su solución contiene dos constantes arbitrarias.

Para hallar la primitiva se procede sustituyendo las constantes por su igual , lo que se consigue mediante el proceso de derivación de la solución ya que la derivada de una constante es igual a cero.


FORMAS DE SOLUCION

Hallar la primitiva de : y = x + cx2 (a)

Trataremos de sustituir a c por su igual
1 ) derivando
Y’ = 1 + 2cx despejando c C = y’ – 1 / 2x , sustituyendo en ( a ) se tiene
Y = x + 2 ( y’ – 1 / 2x ) x2 operando se tiene
Y = xy’ Ec. Dif. buscada


Hallara la primitiva .
1 ) cx + 2cy = y
2) c2-cx = y
3) y = x+cx2















ECUACION DIFERENCIA DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO





Variables Separadas
Una ecuación en x e y de primer orden y primer grado es una ecuación que se expresa en forma
Dy/dx = f(x,y)
O de la siguiente manera
Mdx+Ndy=0
Donde M y N son funciones solo de x e y, tal que
F(x,y) = - M/N
Donde M solo contiene x y N solo contiene y, en este caso se dice que las variables están separadas y su solución se obtiene por simple integración de la ecuación diferencial.

ò X(x) dx + ò Y(y)dy = c Solución Indefinida

Resolver:

dx-2ydy =0
Como se puede notar
M = dx función solo de x
N=2y fusión solo de y, por tanto las variables están separadas

Solución
ò dx +ò 2ydy = 0
x + y2 + c = 0 Solución Buscada




















Variables Separables

Cuando las variables no están separadas y que utilizar procedimientos matemáticos para separarlas sin alterar la ecuación
Como al multiplicar dos términos por un mismo factor la ecuación no se altera podemos multiplicar toda la ecuación por un factor ( Factor Integrante) convenientemente elegido para separar las variables, para hallar este factor no hay reglas sino que depende de su habilidad mental. Una vez separadas las variables se procede como el caso anterior.

Ex. Resolver
3x3 ( 1+y2) dx + x dy = 0

M= 3x2 + ( 1+y2) no debe contener y
N = x no debe contener x
Al multiplicar por el factor 1/ ( 1 + y2) x , se elimina ( 1 + y2) en M , x en N quedando

3x3 / x dx + dy / ( 1 + y 2 ) = 0 Variables separadas

3x2 dx + dy / ( 1+y2 ) dy = 0
ò 3x2 dx + ò (1+y2) dy = 0

x3 + tang-1 y = c


Resolver
a) y(1-x)dx + x2(1-y) dy = 0
b) 2xy ( 4-y2)dx + xy(1+x2) dy = 0

Ejercicios Propuestos













Ecuación Diferencial Exactas

Si se tiene una ecuación de forma
f(x,y) = c donde podemos eliminar la constante por derivación, se obtiene

M ( x,y) dx + N ( x,y) dy = 0 donde
d m/ dy = d n/dx, o sea
My = Nx , se dice que la ecuación es exacta

Solución.

1- Se integra M ( x,y) con relación a x
2- La constante a sumar será H c ( Gx + Hc )
3- Se deriva el resultado de la integral anterior con respecto a y Gy + H’c)
4- Se iguala N( x, y ) dy = Gy + H’c con la intención de hallar el valor de Hc
5- Despejando , H’c = N ( x,y) dy – Gy dy
6- Hc = ò H’c
7- Sumar Hc al resultado de la integración de ( 1)

Ex :
(y +3x) dx + x dy =0
Chequeo.
M= ( y+3x) My = 1 , N = x , Nx = 1 donde My = Nx ec, Exacto

Solución
Integrando M ( x,y) con relación a x
ò ( y + 3x) dx = ò y dx +ò 3xdx = yò dx + 3ò xdx = yx + 3/2 x2 + Hc la llamamos Gx

Derivando Gx con respecto a y
d ( xy + 3/2 x2 + Hc ) / dy = x + H’c la llamamos Gy

Igualando N (x,y)dy = Gy , xdy = x + H’c , H’c= xdy-xdy H’c=0
Hc = ò H’c = ò 0dy = 0, donde Hc = 0

Sumando Hc el Gx se tiene
la solución buscada : xy+3/2x2 + 0


Ejercicios Propuestos










Ecuación Diferencial Homogéneas

Una Ecuación Diferencial M(x,y) dx+ N(x,y)dy =0 es Homogénea de Orden n si esta puede ser escrita como:

f(x,y) = xng(u)
donde u= y/x además g(u) es función de u , o, alternativamente escrita como:
f(x,y) = ynh(u) donde u = x/y .

De una manera mas simple, si multiplicamos la ecuación por un operador k, o sea acompañamos las variables por este operador y multiplicamos al factorizar se tendrá dentro del paréntesis una ecuación igual a M , N por el mismo facto kn

Ex.:
(x2 + y2) dx + ( x2 + xy ) dy = 0
Chequeo

k ( x2 + y2 ) dx + k ( x2 + xy) dy =0
multiplicando
(k2x2 + k2y2 ) dx + ( k2x2 + kx ky) dy =0
Factorizando
k2 ( x2 + y2 ) dx + k2 ( x2 +xy ) dy =0 Ec. Homogénea de Grado 2

Solución: Una vez comprobado que es homogénea, se separan las variables y se integra

Sustitución:

y = v. x dy = vdx + xdv

Al sustituir y ,dy por su igual la ecuación se convierte en una ec. De variables separables, se separan las variables por medio de un FI ( Factor Integrante) y se resuelve por simple integración. Tomando al final la variable original

v = y/x













Sustituyendo

( x2 + ( v.x )2 dx + ( x2 + x(vx) ) ( vdx + xdv ) = 0

Multiplicando

x2dx + x 2v2dx + ( x2 + x2v) ( vdx + xdv ) = 0

x2dx + x 2v 2dx + x2vdx + x3dv + x2v2dx + x3vdv= 0


Ordenando
x2dx + x 2v 2dx + x2vdx + x2v2dx + x3dv + x3vdv= 0

Factorizando

x2 ( 1+v2 + v ) dx + x3 ( 1+v ) dv = 0 Ec. De variables separables

Separando variables
FI = 1 / (1+v2 + v) x3

Multiplicando por el FI resulta

(x2/x3 ) dx + ( 1+v) / ( 1+v2+v) dv = 0 Variables Separadas

Integrando

ò (x2/x3 ) dx +ò ( 1+v) / ( 1+v2+v) dv = 0 Se resuelve la integral



Ejercicios Propuestos











ECUACION DIFERENCIACON COEFICIENTES LINEAL

Una ecuación diferencia con coeficientes lineales es una ecuación de forma.

( a1x + b1y + c ) dx + ( a2x + b2y + c ) dy = 0 , donde c no puede se cero en ambas ecuaciones

Casos I
Cuando a1.b2 – a2.b1 es diferente de cero

La ecuación se transforma en homogénea mediante la transformación
x’ = x + h y’ = y + k

Donde k, h son las soluciones del sistema
a1x + b1y = c
a2x + b2y = c

Ex.
( 2x-5y+3) dx – ( 2x + 4y -6 ) dy = 0

Chequeo
A1.b2 – a2.b1 = 2*4 – 2*5 = -2 Diferente de cero, coso 1, la ec. Dif. se resuelve transformándola en homogénea y resolviéndola como tal

Resolviendo el sistema
2x – 5y = -3
2x – 4y = 6
Se obtiene
x = 1 , y = 1
Transformada
x’ = x + 1
y’ = y + 1
Sustituyendo en la ecuación original se tiene
( 2x’ – 5y’ ) dx’ –(2x’ + 4y’ ) dy’ = 0 Ec. Homogénea
Se resuelve la ecuación homogénea como tal . Al final se toman las variables originales .
x = x’- h y = y’ - k











Caso II
Cuando a1.b2 – a2.b1 = 0

La ecuación se convierte en variables separable mediante la transformada

y = v-x , dy = dv – dx

Se sustituye esta transformada en la ecuación original, se reducen términos semejantes, se agrupan los terminado en dx, dv y se busca un factor integrante para separar las variables. Se resuelve y al final se retoman loas variables originales

v = y + x, dv = dy + dx




Ejercicios propuestos



Ecuación Diferencial Convertible en Exacta.

Para convertir una ecuación diferencial en Exacta se multiplica esta ecuación por su Factor Integrante correspondiente.

CASO I: Si la ecuación no es homogénea ni factorizables se multiplica por el factor Integrante.

FI = eò f(x) dx donde f(x) = ¶m/¶y - ¶n/¶x para función solo de x (1)
n

Resolver
(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0

dm/dy = 2x dn/dx = y

Sustituyendo en (1) f(x) = 2y – y
xy

f(x) = 1/x por tanto

FI= eòf(x) dx = eò( 1/x) dx = elnx = x

FI = x , multiplicando por x la ec. Original se tiene
(x3 +xy2 + x2 ) dx + x2y dy = 0 Ec. Exacta . Resolverla

















CASO II: Si la ec. Diferencial es homogénea su FI será:

FI = 1/ Mx + Ny



Ecuación Diferencial De la forma y( Fx) dx + x( Fy ) dy = 0

Una ecuación diferencial que se pueda escribir como el caso anterior para su solución se convierte es variable separable mediante la siguiente transformada:

Y = v/x dy = xdv-vdx
x2


Resolver : y( xy + 1 ) dx + x ( 1 + xy + x2y2 ) dy = 0

Sustituyendo La transformada se tiene
v/x (v+1 9 dx + x( 1+v+v2) xdv + vdx
x2
operando y reduciendo se tiene
v3dx – x(1+v+v2)dv = 0
separando variables

dx/x – dv/v3 –dv/v2 - dv/v = 0 se integra y se retoman las variables original


Para convertirla en exacta se tiene FI = 1/ Mx - Ny


Método de las Sustituciones Diversas .

Resolver: dy/dx = ( y-4x )2 osea dy = ( y – 4x )2 dx

La transformación sugerida para este caso será :
v = y-4x donde dy = 4dx+dv

La ecuación se convierte en:
4dx+dv =v2dx

Separando variables
dx – dv/v2-4 = 0 se integra y se retoman variables originales
Ejercicios propuestos : Frank Ayres , Pág. 21 E: 19,21




APLICACIONES DE LA ECS. DIF. DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO


EJERCICIOS DE REPASO GENERAL

1—Demostrar si es solución

a) y= 4x2 ; xy’ = 2x
b) x2 + y2 = c yy’+x =0
c) (1-x ) y2 = x3 2x3y’ =
y(y2 + 3x2 )










APLICACIONES DE LA ECUACION DIFERENCIAL